Eric Temple Bell híres skót matematikus, a Bell-polinom és Bell-számok névadója egyetlen mondatban foglalta össze a matematika lényegét:
A »nyilvánvaló« a legveszélyesebb szó a matematikában,
vagyis egy tudományág csak akkor lehet tudományos, ha hipotézisei megcáfolhatók, kétségbe vonhatók.
A matematika célja az aritmetikai és algebrai számolásokkal többek közt az is, hogy végtelen komplex számot és ismeretlen mennyiséget tegyen hozzáférhetővé, ezáltal lehetővé téve több változó értékének megállapítását, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldását, valamint egy függvény (affin függvény, exponenciális függvény, logaritmusfüggvény) változóit tartalmazó és előjeltáblázatának felírását a függvény deriváltja alapján.
A matematika az egyik legrégebbi tudomány. Bölcsőjének gyakran az ókori Egyiptomot, valamint Babilont tekintik, ám a számolás, illetve a számírás már ez a kor előtt is foglalkoztatta az embereket. A matematika azonban az ókori Görögországban indult igazán fejlődésnek, gondoljunk csak Thalészre, Pitagoraszra, Eukleidészre vagy Arkhimédészre.
Több mint 1500 évnyi tudományos fejlődés után, amikor Európában a reneszánsz (16–17. század) idején a csillagászat fejlődött, a számítások túl bonyolulttá váltak ahhoz, hogy hiba nélkül lehessen elvégezni őket.
John Napier (1550–1617) skót matematikusnak köszönhetjük az összetett számításokat egyszerűbb műveletekre redukáló logaritmusok kifejlesztését, amelyet egy a szorzás és osztás műveletek elvégzését elősegítő logaritmustáblázatban ábrázolt, amely lehetővé tette a szorzatok összegekké és a hányadosok különbségekké való átalakítását. A szorzat logaritmusa és a hányados logaritmusa logaritmus azonosságok.
Ezek a felfedezések lehetővé tették a görbe alatti terület kiszámítását, valamint a logaritmus- és az exponenciális függvények tanulmányozását.
Mi a logaritmus fogalma, mik azok a logaritmusfüggvények, és mit jelent az y = log(x)?
Ebben a cikkben a Superproffal közelebbről is megvizsgálhatod a tízes alapú logaritmus függvényét.
A logaritmusfüggvény rövid története
A logaritmusok a matematika történetének egyik mérföldköve, amelynek története a csillagászati számítások megkönnyítése érdekében a 17. század elején készített logaritmustáblázatokkal kezdődött.
Az egyre összetettebb számítások arra késztették a csillagászokat, tengerészeket és matematikusokat, hogy olyan eszközöket keressenek, amelyek megkönnyítik a szorzatok és hányadosok kiszámítását.
A matematika tudományában ekkor már ismerték a trigonometrikus táblázatokat és azonosságokat, amelyek segítségével a és b egész számok szorzatát a koszinuszok segítségével lehetett meghatározni.
A szögszámítások azonban nem bizonyultak elég praktikusnak a csillagászati számítások felgyorsításában, ezért Jobst (Joost, Jost) Bürgi svájci matematikus és John Napier – egymástól függetlenül – egy egyszerűbb módszert dolgozott ki. Valójában Bürgi állította össze az első logaritmustáblázatot, de mivel csak Napier táblázata után publikálta sajátját, ezért a skót matematikusé vált ismertté. Módszerük lényege a számrendszer átváltás megkönnyítése, pontosabban a mértani és aritmetikai (számtani) sorozatok közötti könnyebb áttérés.
Abban az időben, amikor minden számítást kézzel végeztek, az összetett szorzási és osztási műveletek megoldása komoly kihívás elé helyezte a matematikusokat és nem a matektanároktól várták a segítséget.
Bár a trigonometrikus táblázatokban szereplő szinuszok és koszinuszok leolvasásával és valós számokat használva bármely pozitív x-re lehetséges volt a görbe területének és az exponenciális görbén található minden pont érintőjének kiszámítása, egy függvény összes értékének ismerete, beleértve a tizedes számokat is végtelen számú számítást igényelt, mivel a valós számok végtelen sok értéket vehetnek fel.
Henry Briggs angol matematikus volt az, aki a Napier által kifejlesztett logaritmust továbbfejlesztve megalkotta a sokáig Briggs-féle logaritmusnak nevezett tízes alapú (decimális) logaritmust és az első tízes alapú logaritmustáblázatot, amely az 1-től 1000-ig terjedő számok 8-jegyű logaritmusát tartalmazta.
Briggs táblázatai, beleértve a néhány évvel később kidolgozott 14-jegyű logaritmustáblázatát is három évszázadon keresztül szolgáltak a logaritmusfüggvény tanulmányozásának alapvető eszközeként, amelyek végül a 20. század végén a számológép feltalálása következtében szorult háttérbe. A számológépbe táplált tízes alapú logaritmusfüggvények számítását lehetővé tevő funkciók drasztikusan leegyszerűsítették a számításokat.
A logaritmustáblázatoknak azonban még mindig fontos szerepük van, különösen a fizikában, például ha 10−10 és 1010 közötti értékekkel kell foglalkozni. A tanulók körében gyakran mumusnak számító logaritmusokat a középiskolás tanterv foglalja magában.
A tízes alapú logaritmus algebrai tulajdonságai
A nagyon széles tartományban, például 1 és 1000 közötti intervallumban található értékek grafikonon történő ábrázolása kihívást jelenthet az általános módon használt skálával.
Egy ortogonális koordináta-rendszerekben, ha 1 milliméter az 1-es értéket jelenti, akkor 1 centiméter a 10-es értéket jelenti, vagyis az 1000-es érték ábrázolásához egy 1 méter széles papírlapra lenne szükség.
Ezzel szemben a nagyon kis méretek esetében egy 10 kilométer hosszú papírlapra lenne szükség a 10−10 és 10−3 közötti értékek ábrázolásához ugyanazon az arányos skálán.
Ezért használják a matematikusok a logaritmikus skálát, amely lehetővé teszi, hogy egy értéket az egyik skáláról a másikra ugyanazzal a tényezővel (például 10−10 ) szorozzunk meg: a tengelyen megjelenített távolságok arányosak az ábrázolt számok logaritmusával. Ha úgy érzed, hogy a logaritmusok vagy a grafikonok ábrázolása zűrös feladat, és segítségre lenne szükséged, egy matek korrepetálás Zugló környékén kiváló választás lehet.
A tízes alapú logaritmus jele a log(x). Algebrai tulajdonságai hasonlítanak a természetes logaritmuséhoz, amelynek jelölése ln(x). A log(x) = ln(x)/ln(10) a tízes alapú logaritmus és a természetes logaritmus közötti kapcsolatot ábrázolja.
Minden x > 0 és minden valós y esetén, ha egy x érték logaritmusát y-nak jelöljük tízes alapú logaritmus esetén, akkor x = 10y. Továbbá ha egy10y érték logaritmusát y-nak jelöljük tízes alapú logaritmus esetén, akkor ez a logaritmus értéke y, vagyis:
- ha log(x) = y, akkor x = 10y
- ha log(10y) = y, akkor log(x) = y
Az x valós szám az a szám tízes alapú logaritmusa, így az x szám jelölése log10a vagy egyszerűen log(a), vagyis:
- x = log10a
- x = log(a)
Az x valós szám az a szám tízes alapú logaritmusa, így az x szám jelölése log10a vagy egyszerűen log(a), vagyis x = log10a és x=log(a).
Az a tízes alapú logaritmusa az, hogy mely hatványra emeljük a tízet, hogy megkapjuk az a értékét.
Bármely valós szám esetén x > 0:
- log(1) = 0, mert 100 = 1
- log(10) = 1, mert 101 = 10
- log(0,1) = -1, mert 10-1 = 0,1
- log(10x) = x
- log(1/a) = -log(a), mert az inverz logaritmusa egyenlő a logaritmus ellentettjével
- log(a/b) = log(a) - log(b), mert egy hányados logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével
- log(2) =0,30103
- log(3) =0,447712
- log(4) =0,69897
Mivel 10x > 0, ezért a negatív számoknak és a nullának nincs logaritmusa. Egy logaritmusfüggvény ezért definíció szerint mindig szigorúan növekvő és pozitív az adott intervallumon (0; ∞).
A tízes alapú logaritmus másik tulajdonsága, hogy egy pozitív valós számokból álló szorzat tízes alapú logaritmusának értéke megegyezik a szorzat egyes tényezőinek tízes alapú logaritmusának összegével. Tehát ha log(a) és log(b) ismertek, akkor meghatározható belőle a log(ab):
- a = 10x1 --- log(a) = x1
- b = 10x2 --- log(b)= x2
- ab = 10x1+x2 --- log(ab)= x1 + x2
- log(ab) = log(a) + log(b)
Logaritmus példák
Most, hogy rendelkezünk a logaritmusok algebrai tulajdonságainak ismereteivel, hogyan ellenőrizhetnénk, hogy a log(2) = 0,30103?
Számítsuk ki a log(5) értékét:
- log(5) = log(10/2),
- = log(10) - log(2),
- = 1 - log(2),
- = 1 - 0,30103,
- log(5) = 0,69897.
log(2) = log(10/5),
- = log(10) - log(5),
- = 1 - 0,69897,
- log(2) = 0,30103.
Most, hogy tudjuk, hogyan kell kiszámítani egy egyszerű logaritmust, hogyan határozzuk meg a log(20) vagy a log(400) értéket?
- log(20) = log(10×2) = log(10) + log(2) = 1 + log(2) = 1,30103.
- log(400) = log(100×4) = log(100) + log(4) = 2 + log(4) = 2,60205.
A tízes alapú logaritmusfüggvény grafikus ábrázolása
A tízes alapú logaritmusfüggvény növekvő függvényként ábrázolható a grafikonon, vagyis a görbe szigorúan növekszik a valós számok halmazán (R).
Egy függvény grafikus ábrázolásával meghatározható annak előjeltáblázata. A tízes alapú logaritmusfüggvény grafikonja azonban bizonyos tartományokban különösen bonyolulttá válhat, így a logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása és/vagy értelmezése időnként kihívást jelenthet.
0 és +∞ között valójában minden x értéknek van egy log(x) értéke. Továbbá a logaritmusfüggvény nagyon kismértékben növekszik, még akkor is, ha x nagymértékben növekszik. Más szóval, ha a függvénynek van egy függőleges aszimptotája, melynek egyenlete x = 0 és limx→0ln(x)=-∞, ahol ha x nagymértékben növekszik, y nagyon kismértékben növekszik
De akkor hogyan ábrázoljuk a log(x) grafikonját?
Ahogy az affin függvény grafikus ábrázolásánál, úgy a logaritmusfüggvény megrajzolásánál is felírunk egy táblázatot a koordináta-rendszerből tetszőlegesen kiválasztott pontokkal. Adott egy ]0; 100] intervallumon definiált log(x).
Számoljuk ki az x több véletlenszerűen kiválasztott értékének logaritmusát, hogy megtudjuk az ordinátát (y-koordináta) az abszcisszához (x-koordináta) viszonyítva.
Ha minden más változót állandónak tekintünk, akkor tudjuk, hogy log(1) = 0 és log(10) = 1. Azt is tudjuk, hogy log(5) = 0,69897.
Az y = 2x + 5 egyenletű egyenes megrajzolásához már az f(x) függvény ezen két értéke is elegendő. A log(x) függvény azonban nem egy egyenes, hanem egy aszimptotikus görbe. Ezért a következő pontokat fogjuk figyelembe venni:
- log(0) = -3
- log(1) = 0
- log(5) = 0,69
- log(10) = 1
- log(15) = 1,17
- log(20) = 1,30
- log(50) = 1,69
- log(75) = 1,875
- log(100) = 2
A görbe az A (0; -3) koordinátájú ponttól a B (1; 0), C (5; 0,69) stb. koordinátájú pontokon keresztül az I (100; 2) pontig húzható.
Mit veszünk észre?
A log(x) függvény minden x < 1 esetén negatív és minden x > 1 esetén pozitív.
Amikor az x értéke 0 felé közelít, akkor a függvény értékei -∞ felé csökkennek és fordítva, vagyis amikor az x értéke +∞ felé növekedik, akkor a függvény értékei szintén a +∞ felé növekednek.
Meglepetés kérdések!
- Mi a log(0,89234545) előjele?
- Mi a log(1226,9258) előjele?
Milyen változói és irányai vannak a log(x) értéknek?
Számítsd ki:
- log(10 × 5)
- log(1/2)
A bölcsész szakok felé kacsingató középiskolások gyakran felteszik maguknak a kérdést, hogy mi hasznuk lehet a logaritmusokból, ennek ellenére nem árt mindenkinek tisztában lennie velük, ugyanis a matek érettségi nem csak akkor kötelező, ha a fizika, kémia, matematika vagy biológia területén folytatott felsőfokú tanulmányokba szeretnél kezdeni.
Ha úgy érzed, hogy még rád férne egy kis gyakorlás a logaritmusokat illetően, a Superprof matektanaraink azért vannak itt, hogy a szükségeidnek és céljaidnak megfelelő matekórákkal segítsenek az előrehaladásban. Látogass el platformunkra, és válogass tanáraink között legyen szó geometriáról, algebráról, francia nyelvről, énekről stb.!
A matektudásod bővítéséhez olvasd el az euklideszi osztásról és a szorzótábláról szóló cikkeinket is!
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...