Egyenesek, téglalapok, derékszögek, sokszögek, axiómák: a felsoroltak közül mind olyan kifejezések, amelyek a tanítás egy nagyon speciális területéhez tartoznak, és amelyekkel mindenki találkozott már vagy fog találkozni iskolai tanulmányai során, sőt még azon túl is. A geometria tekintetében nem csak a derékszögű háromszögekről van szó, hanem a matematika egy gazdag és hatalmas tudásterületéről.
A geometria ezért a hagyományos értelemben vett matekórák elengedhetetlen része, amely a nehéz témakörök hírében áll. A tanulók néha azért ódzkodnak a geometriától, mert nehezen értik meg az absztrakt fogalmakat, nem tudják megrajzolni a párhuzamos és metsző egyeneseket, problémát okoz számukra egy kör magabiztos megrajzolása stb.
A geometria azonban különösen hasznos a mindennapi életben, sőt nagy presztízsű, például mérnöki vagy matematikai kutatói karrierhez vezethet. Bár elsőre úgy tűnhet, hogy ezek a szakmák látszólag nem is kapcsolódnak közvetlenül a négyszögekhez és a félegyenesekhez, valójában sokkal több közük van hozzá, mint sokan gondolnák!
Ráadásul a geometriáról az a hír járja, hogy meglehetősen zárt és a matekzsenik számára fenntartott terület. A látszattal ellentétben azonban a matematikának ez az ága minden szintű matekot tanuló számára elérhető, sőt szórakoztató is lehet, hiszen a logikát és a gondolkodást egyaránt próbára teszi.
Szóval, szeretnél te is mélyebben elmerülni a geometriában? Érdekel a matematika alakzatokkal foglalkozó ága, de nem tudod, hogyan is vághatnál bele az elsajátításába? Vagy éppen ellenkezőleg elriasztanak a végpontok és a merőlegesség?
A Superprof segítségével ebből a cikkből mindent megtudhatsz erről a térbeli és síkbeli törvényszerűségekkel foglalkozó területről!
A geometria definíciója és története
A geometria története az i. e. 2. évezredi Egyiptomba és Mezopotámiába nyúlik vissza, ahol már akkor is használtak alapszintű geometriát térfogatok, szögek, terek és hosszúságok kiszámítására, de ettől gyakorlatiasabb módon is alkalmazták, például a földmérésben, az építészetben és a csillagászatban.
A geometria összességében már akkor is egy olyan terület volt, amely a mindennapi élet minden lényeges területére kiterjedt. Mindez elég ahhoz, hogy felismerjük a négyszögek és más geometriai alakzatok jelentőségét.
Az i. e. 7. században a milétoszi görög matematikus, Thalész elkezdett különböző matematikai problémákat megoldani a piramisok magasságának kiszámításától kezdve a hajók parttól való távolságának meghatározásáig. Sejted már, hová akarunk kilyukadni? Dereng már, hogy mit is tett le Thalész az asztalra?
Thalésznek két ma is rendkívül elterjedt tételt köszönhetünk, nevezetesen:
- a párhuzamos szelők tételét: a más nyelveken kis Thalész-tételként vagy Thalész első tételeként is ismert párhuzamos szelők tétele a geometria egyik alapelve, amelyet világszerte széles körben tanítanak az iskolákban és használnak a szögek tulajdonságainak bizonyításától kezdve az építészeten, térképészeten és mérnöki alkalmazásokon át egészen a párhuzamos szelők által kialakított geometriai alakzatok tulajdonságainak tanulmányozásáig. Emlékeztetőül íme a párhuzamos szelők tételének definíciója:
Ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, majd ezeknek a szakaszoknak a végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával.
- a Thalész-tételt: az egyes nyelveken nagy Thalész-tételként vagy Thalész második tételeként is ismert Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele, amelyet ma a műszaki rajzok készítésétől kezdve a térképészeten, a derékszögű háromszögek tulajdonságainak vizsgálatán át egészen a robotikáig számos területen használják. A legenda szerint Thalész ezt a tételt használta a Kheopsz (gízai nagy) piramis magasságának kiszámítására is. A tétel kimondja, hogy:
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
A háromszögeken, négyzeteken és egyeneseken túl azonban a geometria mindenekelőtt egy rendkívül gazdag és sokoldalú szakterület.
A középkorban az arab matematika nagyban hozzájárult a geometria elterjedéséhez és különböző elveinek kidolgozásához. A négyzeteken túl a geometria mindenekelőtt egy rendkívül gazdag és sokoldalú szakterület.
A következő időszakban, vagyis az újkorban született meg az algebrai geometria, az alkalmazott matematika azon területe, amely absztrakt algebrai technikákat alkalmaz geometriai problémák (görbék, terek stb.) megoldására. Papíron mindez ijesztőnek tűnhet, de a valóságban egyáltalán nem az.
Az újkor és a jelenkor geometriájára olyan matematikusok nyomták rá bélyegüket, mint René Descartes, Pierre de Fermat és Leonhard Euler. Ebben az időszakban, pontosabban a 19. században jelent meg a nemeuklideszi geometria, amelyen olyan híres matematikusok dolgoztak, mint Bolyai János, Nyikolaj Lobacsevszkij vagy Bernhard Riemann. Ekkor született meg a fizikai kémia kvantitatív megközelítése is, valamint ekkor fogalmazódott meg a szimmetria is.
Mindezek az előrelépések alapvetően járultak hozzá a geometria és egyben a matematika tudományának történelmének bővítéséhez, és mindenekelőtt annak a lehető legnagyobb kiteljesedéséhez, egészen addig, amit ma a matematikaórákon tudunk és tanítunk.
A számokkal és számjegyekkel foglalkozó matematikai ágaktól, például az alapvető matematikai műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás stb.) foglalkozó aritmetikától, vagy a matematikai műveletek általános tudományaként ismert algebrától (ismeretlenek és változók, egyenletek és egyenlőtlenségek stb.) eltekintve a matematikában minden, ami a formák alakjával, méretével és egymáshoz viszonyított pozíciójával foglalkozik a (síkbeli és térbeli) geometria ága alatt összpontosul.
A pontosabb megfogalmazás érdekében az említett területek egymással kölcsönhatásban léteznek, mert többé-kevésbé közvetlen módon reagálnak egymásra, és mindegyikük a hazánkban is jól megalapozott területhez, vagyis a matematikához tartozik.
A geometria alapjai
Bár ma már elmondhatjuk, hogy igencsak sokat tudunk a geometria létrejöttéről és fejlődéséről, az igazság azonban az, hogy ez a folyamatosan fejlődő terület sokkal részletesebb a látszatnál. Ez a fejlődés közvetlenül kapcsolódik a geometria gyakorlati alkalmazásához. Bizonyára nem árulunk el nagy titkot azzal, hogy ahhoz, hogy tudd, hogyan működik a geometria, meg kell tanulnod az alapokat.
Néhány geometriai fogalom, amit fontos megjegyezni
Ha tudni akarod, hogyan ismerhetsz fel egy mértékegységet, meg akarod tanulni, hogyan modellezhetsz tereket, vagy mindent el akarsz sajátítani a deriváltról, ismerned kell a geometria alapjait A-tól Z-ig. Ezért is vagyunk mi itt, hogy ebben segítsünk neked!
Először is, tisztában kell lenned azzal, hogy az iskolai tankönyvekben vagy a kezdőknek szóló geometriaórákon szembesülni fogsz a matematika ezen ágának legegyszerűbb tételeivel és elveivel. Kemény munkával és egy jó adag motivációval néhány hónap alatt képes leszel elsajátítani ezeket az alapszabályokat, szóval hajrá!
Íme néhány alapvető geometriai fogalom, amelyet a rájuk jellemző tulajdonságokkal és szabályokkal együtt kell elsajátítanod:
- Geometriai alakzatok: érintő, párhuzamos egyenesek, metsző egyenesek, merőleges egyenesek
- Szögek: mellékszög, csúcsszög, belső és külső szög, szögfelező
- Távolság: két pont között, kör és gömb, szakaszfelező merőleges, ultrametrikus távolság, Hausdorff-távolság
- Descartes-féle koordináta-rendszer
- Egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, derékszögű háromszög
- Thalész-tétel, Pitagorasz-tétel és még sok más is!
Láthatjuk tehát, hogy a geometria mindenekelőtt törvényszerűségeken és a szellemi készségeken alapul. amelyeket ha sikerül megértened, gyakorolnod és elsajátítanod, minden világosabbá és gördülékenyebbé, sőt olyan egyszerűvé válik, mint az 1 × 1!
A geometria hatékony gyakorlásához és tökéletes elsajátításához elengedhetetlenek ezeknek a szabályoknak az ismerete. Ne habozz tehát, vedd igénybe a Superprof geometriaóráit, ahol matektanaraink mindent megtesznek, bárhol is légy, hogy a tanulással kapcsolatos vágyaid valósággá váljanak!
Gyakori tévhit, hogy csak a doktoranduszok vagy kutatók képesek a legösszetettebb geometriai elméleteket gyakorlatba ültetni. A geometria valójában a logikáról szól – miért ne fejlesztenéd hát a gondolkodási képességeidet néhány online logikai játékkal?
Az effajta játékokkal tökéletesen ötvözhető a szórakozás és a hosszú távú gondolkodás, legyen szó vektorokról, egyenlő szögekről vagy a hiperbolikus geometriáról. Ennyi az egész! Vigyázat! Mint minden gazdag és változatos tudományágban, úgy a geometriában sem csak EGY fajta geometria létezik – távolról sem!
Ha szeretnéd mélyebben megérteni a geometriát vagy a matematikát más területeken, érdemes matek tanulás online formájában elkezdeni. Az online tanulás lehetőséget ad arra, hogy saját tempódban fejlődj, és rugalmasan, a saját időbeosztásod szerint dolgozz a matek különböző aspektusain.
A geometria különböző típusai
Ha szeretnél a térbeli elhelyezkedés, az egyenletek és a fraktálok szakértőjévé válni, akkor maradj velünk, és kövesd útmutatónkat!
A szó legszorosabb értelmében a geometria alatt a klasszikus euklideszi geometriát értjük, amelyet a matematikatanárok világszerte tanítanak. Bár a diákok már az alsó tagozatban megismerkednek a legalapvetőbb geometriai ismeretekkel, a klasszikus geometria egyszerű fogalmaira a felső tagozatban kerül egyre nagyobb hangsúly, amelyek megnyitják a geometria összetettebb, részletesebb világában való elmerülés kapuit. Ki tudja? Lehet, hogy éppen benned is egy igazi matekzseni rejtőzik!
A későbbiekben, amennyiben a matematika területén szeretnéd folytatni a tanulmányaidat, olyan különböző kutatási területeit választhatod ennek a hatalmas szakterületnek, mint:
- a differenciálgeometria,
- az algebrai geometria,
- a komplex geometria,
- a nem kommutatív geometria,
- a nemeuklideszi geometria,
- az aritmetikai geometria,
- a szimplektikus geometria és kontakt (érintkezési) geometria,
- a Riemann-geometria stb.
A klasszikus értelemben vett geometriai ismeretek bőven elegendők ahhoz, hogy mindig jó átlagot érj el matematikából az iskolai pályafutásod során. A klasszikus geometria általános ismeretei alatt a geometria legkönnyebben értelmezhető és legalapvetőbb fogalmait értjük, például a síkot, a szakaszokat vagy a nagybetűkkel jelölt (általában ABC) híres háromszöget.
Ahhoz tehát, hogy igazi matematikussá válj, és általános, középiskolás vagy akár egyetemi matematikatanárként alapozhasd meg a pályafutásodat, a geometria elméleti oldalát is ismerned kell. A matematika területén folytatott felsőfokú tanulmányokat követően a karrierlehetőségek természetesen nem korlátozódnak a tanári pályára: egy matematika BSc szakirányú alapdiploma széles körű lehetőségeket kínál a műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen. Ez is olyan, mint bármely más tudományág: minél jobban specializálódsz, annál inkább válsz szakértővé.
Ahhoz azonban, hogy megtudd, hogy a geometria szakirány felé vezető út elérhető-e és megvalósítható-e számodra, meg kell bizonyosodnod róla, hogy tényleg ez a vágyad. Ezenfelül létfontosságú, hogy képes legyél felmérni a képességeidet, valamint hogy az osztályteremben használt készségeidet a jövőben is képes leszel-e kamatoztatni. Röviden tehát meg kell bizonyosodnod róla, hogy értesz a geometriához, és tényleg ez a neked való terület.
Ha úgy érzed, hogy nem vagy biztos benne, vagy szeretnéd erősíteni a geometriai tudásodat, akkor egy matek korrepetálás 17 kerület környékén kiváló megoldás lehet. A Superprof platformján található tanárok segítenek abban, hogy elmélyítsd tudásodat, és magabiztosabbá válj a matematikai témákban, hogy sikeresen elindulhass a kívánt irányban.
Hogyan lehetsz jó geometriából?
A különböző formák alakjával, méretével és egymáshoz viszonyított pozíciójával foglalkozó geometria a matematika többi ágához hasonlóan a tanuló logikájára és személyes elkötelezettségére támaszkodik. Jó gondolkodási képességekkel képes leszel bebizonyítani a tudásodat a Descartes-féle koordináta-rendszeren.
Igen, ez ilyen egyszerű!
A tanulók már egészen kicsi koruktól kezdve végezhetnek a logikai (matematikai) intelligenciájukat fejlesztő kognitív gyakorlatokat, például olyan számalapú játékokkal, mint a dominó. A reflexek és különféle szokások gyakran már nagyon fiatal korban kialakulnak, vagy legalábbis a mindennapi rutin részévé válnak.
Bár a geometria egész életünk során tanulható, a matematikai készségeket mégis célszerű még a középiskola megkezdése előtt tökéletesíteni, ezáltal biztosíthatók ugyanis többek közt az iskolai sikerhez szükséges ismeretek is. Az, hogy megpróbáljuk mindezt elérni, nem kerül sokba.
Íme egy rövid, nem teljes körű lista a geometria sikeréhez szükséges tippekről:
- egészítsd ki az iskolában tanultakat néhány magánórával,
- ismételd át a tanultakat rendszeresen meghatározott időpontokban és minden egyes geometria lecke után,
- vegyél részt egy ismétlő tanfolyamon geometriából a szünidőben,
- maradj koncentrált a matematikai feladatok végzésekor az elejétől a végéig,
- csatlakozz egy geometria tanulócsoporthoz az órák után,
- dolgozz együtt egy osztálytársaddal, barátoddal vagy rokonoddal a geometria jobb megértése érdekében,
- kerüld a számológép és okostelefon használatát a matematikai feladatok során,
- próbáld meg értelmezni a matematika és a térgeometria térbeli természetét,
- próbálj meg minden nap elvégezni néhány geometriai gyakorlatot és az életed minden területén alkalmazni a geometriai fogalmakat stb.
Bizonyára mindebből az is lejött, hogy ahhoz, hogy sikeres legyél a geometriában, szeretned kell a matematika tantárgyát. A matematikát, és azon belül a geometriát akkor élvezheted a legjobban, ha a szinteddel, céljaiddal és motivációddal összhangban gyakorlod. Ne feledd, hogy a hatékony gyakorláshoz azt is tudnod kell, hogyan sajátíthatod el az alapokat!
Ne habozz tehát a geometriai ismereteidet a mindennapi életben is alkalmazni, például két pont közötti távolság kiszámításával! Gyorsan rá fogsz jönni a térbeli számítások előnyeire, amellyel párhuzamosan a matematika különböző területein is gyorsabban fogsz haladni.
Ha szívesen olvasnál még a matematikáról, vess egy pillantást a többi cikkünkre is, amelyekből megtudhatod, hogy mi az algebra jelentése, hogyan számítható ki a legnagyobb közös osztó, mik a logaritmus azonosságok és mi az affin függvény.
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...