A matematika tanulása olyan, mint a zongora- vagy gitárórák: nem lehet csak úgy egyszerűen kitalálni, és jobb logikus érveléssel megérteni és levezetni, mint fejből bevágni. Fontos tehát megtanulni megérteni, hogyan kell megoldani egyenleteket, egyenlőtlenségeket és differenciálegyenleteket, hogyan kell leolvasni egy affin vagy lineáris függvény változóit tartalmazó táblázatot stb.
Természetesen a matekórák más alapvető ismereteket is megkövetelnek, például a szorzótáblát és minden tétel megtanulását, különösen a geometriában és a valószínűség-számításban – a híres normális eloszlás és a binomiális eloszlás nem magától értetődő területek.
Mindebből kifolyólag többek közt egy függvény elemzéséhez (a függvény határértékének, egy logaritmus számítás vagy exponenciális függvény tanulmányozásához stb.), az integrálszámításhoz stb. szükséges értened a matematika nyelvét.
A matektanulás lényegében olyan, mint egy német vagy angol nyelvtanfolyam: amellett, hogy megtanulod a szókincset és a nyelvtant, azt is meg kell értened, hogyan kell felépíteni egy mondatot.
Az alsó és felső tagozatos, illetve a középiskolás tananyag is bőven rejteget a diákok közt gyakran mumusnak számító matematikai témaköröket. Ilyen az affin függvény is, amely gyakran jelent kihívást a középiskolások körében.
Mivel ez a témakör fontos részét képezi a tantervnek, ezért nincs mit tenni – muszáj felvenni vele a harcot, vagy egy matek korrepetálás Újpesten akár sokat segíthet.
Az affin függvény definíciója és tételei
Az affin függvény olyan függvény, amely bármely x valós számhoz (ℝ) hozzárendel egy ax + b értéket, ahol a és b tetszőleges valós számok.
Az affin függvény általános képlete: f(x) = ax + b, ahol b ≠ 0.
Miért?
Azért, mert ha b = 0, akkor az affin függvény alakja f(x) = ax, ami egy lineáris függvény.
Ha pedig a = 0, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) = b függvény konstans (és affin): valójában az egyenes vízszintesen eltolódik, és minden pontjának az y koordinátája b, tehát az x tengellyel párhuzamos marad.
Ez az affin függvény két legfontosabb jellemzője.
A b érték a grafikonon az y metszéspontot (origó) jelöli: ez az a pont, ahol az egyenes átmetszi az y tengelyt a kezdőponttól (0) mért távolságukban.
Az a változót lejtőnek nevezzük: ez az egyenes meredekségének irányát és mértékét jelzi az x tengelyhez viszonyítva. Minél nagyobb az a szám, annál nagyobb az egyenes meredeksége, akár negatív, akár pozitív.
Hogy jó benyomást kelts az emelt szintű matek érettségin, az affin függvényt érintő feladatnál leírhatod, hogy az f(x) függvény egyenesének meredeksége meghatározza, hogy mennyivel változnak az y-koordináták az x-koordináták egységnyi növekedése során.
Az affin függvény tehát olyan értékek halmaza, amelyek megoldják az y = ax + b egyenletet egy adott intervallumon belül, és grafikus ábrázolása egy ferde, növekvő vagy csökkenő egyenes alakját fogja felvenni.
Ez úgy is értelmezhető, hogy f az a függvény, amely az x számot az ax + b számra képezi le: x az előzmény, ax + b az x intervallumbeli értéke, amelyet f(x) = ax + b ad meg.
Például, ha f(x) = 3x, akkor egy egyenest kapunk, amelyet d1-nek jelölünk, és amely növekszik, és az y tengelyt a 0 pontban keresztezi. Ha f(x) = -x, akkor a d2 egyenes csökkenő lesz.
Egy másik különlegesség: ha f(x) = -5, akkor az egyenes konstans lesz, és az y tengelyt a -5 pontban metszi.
Egy x mint valós szám kiszámításához egyszerűen meg kell szorozni az x-et az a együtthatóval, majd hozzá kell adni a b konstanst, és máris elkezdheted ábrázolni az egyenest egy grafikonon. Ha elakadtál, a matekórán tárgyalt fogalmakat egy matek magántanárral is átismételheted.
Matematika korrepetáláson egy magántanárral még jobban elsajátíthatod ezeket a tudásokat.
Az affin függvények grafikus ábrázolása
Az affin függvény egyenesének grafikonon való ábrázolásának megtanulásához a diákoknak egy jó tanítási készségekkel rendelkező matematikatanárra és az általa átadott hatékony módszerre van szükségük.
Vizsgáljuk meg az affin függvény egyenesének ábrázolását egy konkrét példával. Vegyük a következő f függvényt: f(x) = 2x - 3.
Mivel f(x) = ax + b, ahol a = 2 és b = -3, valóban egy affin függvényről van szó.
Az y = 2x - 3 egyenletű egyenest fogjuk ábrázolni. Mivel ez egy egyenes, csak két pontra van szükség a megrajzolásához. Keressünk három tetszőleges x értéket, amelyek könnyen leolvashatók a koordináta-rendszerben, majd számoljuk ki azok f(x) értékét.
- Ha x = 0, akkor f(x) = −3: A pontként jelölve.
- Ha x = 2, akkor f(x) = 1: B pontként jelölve.
Megkaptuk az A és B pontokat, melyek koordinátái A (0, -3) és B (2, 1).
A hibák elkerülése érdekében és ellenőrzés céljából azonban hozzáadhatunk egy harmadik pontot is. Például ha x = −2, akkor f(x) = −7. A pontokat összekötve most már megrajzolható az y = 2x − 3 egyenletű egyenes.
Online matematikaórán is részt vehetsz, ha magántanárok segítségét kéred.
Íme egy másik módszer is:
Az y koordináta -3-ból kiindulva 4 egységet mozdítunk felfelé az y tengelyen, és 2 egységet tolunk jobbra az x tengelyen, vagy 6 egységet mozdítunk felfelé az y tengelyen, és 3 egységet tolunk el az x tengelyen.
Ha x eggyel nő, akkor y kettővel nő, tehát a = 2.
A pontok koordinátái a következők: A (0, -3), B (2, 1), C (3, 3), ami elegendő a d1 egyenes megrajzolásához, ahol az egyenes bármely pontja kielégíti az y = 2x - 3 egyenletet.
Hogyan határozható meg egy affin függvény?
Egy f függvény meghatározása egyszerű, ha ismerjük az a és b értékeket. Maradjunk az f(x) = 2x - 3 példánknál.
Tudjuk, hogy f(0) = -3, hogy f(2) = 1 és hogy f(-2) = -7.
A függvényünk meghatározására két módszer használható: számítás és a koordináta-rendszer leolvasása.
Egy függvény meghatározása annak grafikus ábrázolásából
Ez a legegyszerűbb módszer, de a tanulmányok előrehaladtával a grafikon nem feltétlenül lesz megadva.
A magántanárokkal folytatott órákon hozzá kell szoknod, hogy a lehető legkevesebbet támaszkodj a függvények grafikus ábrázolására.
Az f(x) = 2x - 3 függvény meghatározásához a grafikon segítségével egyszerűen meg kell nézni azokat a pontokat, amelyekben az egyenes metszi a x és az y tengelyt. Esetünkben az A (0; -3), B (2; 1) és C (3; 3) pontok találhatók meg.
Ez azt jelenti, hogy a d1 egyenes egyenlete y = 2x - 3.
Egy függvény meghatározása számítással
Mi a teendő egy grafikon hiányában, vagy ha a matektanár papíron történő levezetést kér?
Szerencsére létezik egy mágikus képélet, íme: amikor f egy nem lineáris függvény, akkor az f(x) értékeket meghatározó x értékek nem arányosak, de az x értékek közti különbségek igen.
Az egyenes meredekségének kiszámításához vegyünk az x1 et x2 értéket, valamint az ezekhez tartozó f(x1) és f(x2) értékeket, amellyel az a értéke a következőképp számítható ki:
- a = (f(x1) - f(x2))/(x2-x1)
A b érték meghatározásához használhatjuk az egyik pont, például az (x1,f(x1)) koordinátáit:
- b = f(x1) – ax1
Ezután már ismerjük az affin függvényünk teljes alakját, ami f(x) = ax + b, ahol a az egyenes meredeksége, és b az y tengely metszéspontja, vagyis az egyenes (0,b) pontja.
Az affin függvények előjelének tanulmányozása
Most, hogy megvan az egyenes lejtése és grafikonja, vizsgáljuk meg a függvény előjelét.
Bárki, aki a felsőfokú tanulmányai során statisztikával kapcsolatos tárgyakat is végez vagy végzett, bizonyára foglalkozott már a matematikai jelek (jelölések, szimbólumok) tanulmányozásával.
Emlékeztetőül, ha a pozitív, akkor az f függvény növekvő és fordítva.
Ha x1 < x2, akkor ax1 < ax2 és ezáltal ax1 + b < ax2 + b és f(x1) < f(x2). Ebben az esetben a -2 jóval 0 alatt van, a -7 pedig -3 alatt.
A mi f(x) = 2x - 3 függvényünk tehát határozottan növekvő. Az f(x) értékei negatívból, az y tengelyt a -3 koordinátánál átlépve pozitív értékek felé változnak.
Az ax + b = 0, ahol (a ≠ 0) egyenletnek egyetlen megoldása van: x = ((- b) / a). Az y = ax + b egyenes egyenlete az ((-b)/a, 0) koordinátájú pontban metszi az x-tengelyt.
Mivel a = 2 és b = -3, ezért levonhatjuk a következtetést, hogy a függvényünk f(x) értéke az x = 2/3 pontban az x tengelyen áthaladva pozitívvá válik.
Az f(x) változásainak tanulmányozásához ismerni kell a deriválást:
az f függvény a valós számok halmazán (R) deriválható, és minden x ∈ R esetén f(x) = 2x − 3 = 2, tehát az f(x) pozitív.
Ez azt jelenti, hogy az f(x) függvény előjelei negatívak lesznek a −∞-től a 2/3 pontig és pozitívak lesznek a 2/3 ponttól a +∞-ig.
Mire használják az affin függvényeket?
A leggyakrabban elhangzott kérdés a matekórákon az, hogy de mi értelme van a mateknak?! Ez a kérdés még inkább aktuális, ha az affin függvények számításával küzdesz. Mit tudnak ezek az affin függvények valójában tenni értünk?
Míg egyes matematikai számítások nagyon magas szintűek és speciálisak, és a mindennapi életben kevéssé használhatók, az affin függvények szinte minden nap jelen vannak az életünkben. Rendkívül hasznosak például a tendenciák jövőbeli modellezésében (trendszámítás).
Tegyük fel, hogy van egy kis félretett pénzed, például 100 euród. Úgy döntesz, hogy minden hónapban félreteszel 50 eurót, és meg szeretnéd tudni, hogy mikor engedhetsz meg magadnak egy új kerékpárt. A terved megvalósulásához szükséges hónapok száma lesz az ismeretlen. Ezután a következő számítást kell elvégezned: 50x + 100. Ezzel felállítottál egy affin függvényt, amelynek megoldását követően tudni fogod, hogy mikor vásárolhatod meg az új bringát.
Bár attól, hogy az egyenletet fejben is levezetheted, és nem kell feltétlenül papírra vetned, még az affin függvényekről van szó.
Az affin függvények továbbá a banknak fizetendő többéves kamat értékének vagy egy többhetes edzést követő súlyveszteség kiszámítására is alkalmazható.
Az affin függvények arra emlékeztetnek minket, hogy a világ és a mindennapi életünk állandó változásban van. Az affin függvények és grafikonok nagyon hasznosak továbbá az olyan járványok esetében is, mint a COVID-19, mert lehetővé teszik a lehetséges jövőbeli folyamatok és változások megjóslását. Természetesen az affin függvények nem oldanak meg minden problémát, és inkább olyan területeken alkalmazhatók, ahol a változások valamelyest előre láthatók.
Ha például minden hónapban félreteszel 50 eurót, akkor biztos lehetsz benne, hogy az 50 euró minden hónapban a megtakarításaidba kerül. Nincs más ismeretlen azon kívül, hogy mennyi időbe telik, amíg megveheted a kerékpárodat.
Mindez bizonyos helyzetekben különösen hasznossá teszi az affin függvényeket. Működésük ismerete tehát fontos az általános tudás és a világ jobb megértése szempontjából is.
Az affin függvények értelemszerűen azoknak a diákoknak is fontos, akik úgy döntöttek, hogy tanulmányaikat olyan tudományos területeken folytatják, mint a matematika, de természetesen a fizikában, kémiában, közgazdaságtanban vagy kereskedelemben is a hasznukra lesz.
Bár az affin függvények önmagukban nem létfontosságúak, olyan alapvető eszközökkel látják el a tanulókat, amelyek más területen is elősegítik a számításaikat.
Az alapvető matematikai tudás elengedhetetlen ahhoz, hogy ne maradj le, és magabiztosan haladhass előre, és a matematikai számításokban is tovább tudj lépni. Az affin függvényekkel tehát olyan matematikai számításokkal gazdagodhatsz, amelyeket aztán egy számítógépes program fejlesztéséhez, fizikai adatok kiszámításához vagy egy vállalat könyvelőjeként is felhasználhatsz.
Tehát még ha az affin függvények hasznossága elsőre nem is tűnik nyilvánvalónak, fontos, hogy bízz a tanáraidban.
Összefoglaló
Az affin függvények fontos részét képezik a középiskolás matematikaóráknak, különösen ha a matematika felé szeretnél orientálódni. A jó kezdés érdekében itt vannak a legfontosabb tudnivalók:
- Az affin függvényt a változó összeadásával és szorzásával kapjuk meg konstansokkal. Képlete f(x) = ax + b, ahol a (egyenes meredeksége) és b (y metszete) tetszőleges valós számok. A cél az ismeretlen x kiszámítása.
- Az affin függvény grafikonon ferde, növekvő vagy csökkenő egyenessel ábrázolható.
- Az affin függvény meghatározása két módon történhet: számítással vagy a koordináta-rendszerről való leolvasással.
- Ha a pozitív, akkor a függvény növekvő és fordítva.
- A levezetéseket kívülről kell tudnod ahhoz, hogy tanulmányozhasd egy affin függvény előjelét.
- Az affin függvényeket napi szinten használják az olyan tendenciák értékelésére, ahol a változás előre látható. Az affin függvények ismerete alapot nyújt a felsőfokú tanulmányokhoz.
Most már te is beláthatod, hogy az affin függvényekről szóló fejezetet nem szabad átugrani!
Egészítsd ki a matektudásodat az euklideszi osztásról és az algebráról szóló cikkeinkkel!
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...