A matematikában és statisztikában a medián egyfajta átlag, amely az adathalmaz középső értékét határozza meg. Bár ez meglepően egyszerűen hangzik, a medián ennél sokkal többet jelent! Különösen hasznos lehet akkor, ha az adathalmaz belső szerkezetét az adatok tipikus értékének megismerésével és a szélsőségek túlzott befolyása nélkül szeretnéd megismerni.
De hogyan számítható ki a medián? Mikor éri meg alkalmazni, és mikor jobb más számításokra, például a számtani középre (átlag) vagy a móduszra hagyatkozni? A válaszokért görgess tovább!
Gyors bevezetés a különböző átlagszámításokba
Az átlagértékek kiszámítását és a statisztikai mutatókkal végzett munkát értelmezhetjük úgy mint az adatok lényegének matematikai módszerekkel történő megértése. Ha például azt szeretnénk tudni, hogy meleg van-e, akkor ezekkel a módszerekkel meghatározhatjuk az átlagos hőmérsékletet.
Ez azonban összetettebb, mint ahogy azt elsőre gondolnánk, mert a hőmérséklet a nap folyamán általában folyamatosan változik. Következésképp jó ötlet több mérést végezni. Ha a hőmérséklet sokat változott, nehéz egyértelműen meghatározni, hogy meleg nap volt-e vagy sem. Ha óránként végeznél mérést, akkor 24 mérést kapnál, és még mindig nem tudnád megmondani, hogy meleg napunk volt-e vagy sem.
Amikor a jövedelem kiszámításáról van szó, a medián különösen hasznos lehet a számtani középpel, vagyis az átlaggal szemben. Ennek oka, hogy a mediánt nem befolyásolják a szélsőséges értékek, vagyis ebben az esetben a jóval kisebb gazdagabb rétegek, például a milliomosok és milliárdosok jövedelme nem torzítja el a számokat. A medián ebben az értelemben tehát jobban tükrözi a valóságot, ezért gyakran használják a „tipikus” jövedelem meghatározására.
Ahhoz, hogy erről tiszta képet kaphass, átlagszámítást kell végezned. A vizsgált adattípusoktól és a céloktól függően más-más módszer – medián, módusz, számtani közép – lehet a legalkalmasabb a legvalósághűbb eredményhez.
A matematikai átlagokat az adathalmazok elemzésére használják, amellyel lényegében több értéket összegeznek egy értékben, hogy jobban értelmezhessék és megértsék, hogy mit jelent az adott adatsor, számsor. Az átlagok összességében áttekinthetővé teszik a bonyolult adathalmazokat, és döntéshozáshoz, következtetések levonásához, sőt hiányzó információk pótlásához is alkalmazhatók.
Bár gyakran hallani a diákoktól, hogy ezt és azt a matematikai ismeretet soha nem használják a mindennapi életükben, a statisztikai mutatók bizony sokat segíthetnek a gyakorlati, hétköznapi döntésekben. Az átlaghőmérséklet alapján például egész jól felmérhető, hogy milyen ruhát érdemes viselni az adott évszakban vagy időszakban. Ez az utazástervezés alapvető része is: ha tudod, hogy fél év múlva nyaralni mész néhány hétre, még nem igen hagyatkozhatsz pontos időjárás-előrejelzésre. Viszont az előző évek adott havi átlagai alapján már kezdhetsz tervezni!
Ha egy héten vagy hónapban van egy-egy rendkívül meleg vagy hideg nap, érdemes a mediánra hagyatkozni, mert kevésbé érzékeny a szélsőségekre, így tisztább képet nyújt a jellemző hőmérsékletről. A medián ezek alapján számos más területen is hasznos, például jövedelem, ingatlanárak vagy teljesítmény tanulmányozásakor.
A medián kiszámítása lépésről lépésre
A medián értelmezése és kiszámítása nagyon egyszerű. A medián tulajdonképpen egy adatsor középértékét jelenti, amelyhez az összes értéket növekvő sorrendbe kell helyezni, majd meghatározni azok középső értékét, és máris megvan a medián. Más szóval a mediántól balra és jobbra is ugyanannyi szám található. Ez persze csak a páratlan számsorokkal működik. Attól függően, hogy páratlan vagy páros a számhalmaz, kétféleképp határozható meg a medián.
A medián kiszámítása páratlan számsor esetében
Tegyük fel, hogy ezen a héten (a cikk írásának időpontjában) a legmagasabb a hőmérséklet Perthben 29, 26, 30, 30, 29, 27 és 28 Celsius-fok volt, és a medián segítségével szeretnénk megtudni az átlaghőmérsékletet. Mindössze annyit kell tennünk, hogy sorrendbe állítjuk a számokat.
- Perth legmagasabb hőmérsékletei ezen a héten: 29, 26, 30, 30, 29, 27 és 28.
- Ezek növekvő sorrendben a következők: 26, 27, 28, 29, 29, 30 és 30.
- Mivel 7 értékünk van, a 4. érték pontosan a középső (mivel mindkét oldalán 3 érték van). A legmagasabb hőmérséklet mediánja Perthben ezen a héten 29.
Összehasonlításképpen ha a számtani közép (átlag) számításához nyúlnánk, az eredményünk 28,43, ami valamivel alacsonyabb a mediántól. Láthatjuk továbbá, hogy medián képlet olyan értelemben, mint az átlagszámításban nem létezik. A lényeg, hogy nagyság szerint rendszerezd a számokat, és attól függően, hogy páros vagy váratlan számsorral rendelkezel, meghatározd a középső értéket.
A medián kiszámítása páros számsor esetében
Ha a számhalmazunk páros lenne, akkor nem lenne egyetlen középső értékünk. Ebben az esetben a két középső érték átlagát kell venni.
Tegyük fel, hogy hozzáadunk egy plusz napot, amikor a hőmérséklet 22 fok:
- A 8 nap alatt mért hőmérsékletek 22, 29, 26, 30, 30, 29, 27 és 28, amelyek növekvő sorrendben a következők: 22, 26, 27, 28, 29, 29, 30 és 30. A középső értékek a 4. és 5. helyen találhatók (mindkét oldalon 3-3 értékkel).
- A 4. és az 5. érték a 28 és 29. Ha mindkét érték azonos lenne, nem igazán számítana, de ebben az esetben a két érték különbözik, így átlagot kell vonni belőlük, vagyis össze kell adni őket, majd elosztani annyi számmal, amennyit összeadtunk – ebben az esetben 2-vel.
- 28 + 29 = 57; 57 ÷ 2 = 28,5. A számtani közép 27,6 lenne, ami majdnem egy fokkal alacsonyabb, mint a medián.
Milyen előnyei vannak a medián használatának?
A fenti időjárási példában láthattuk, hogy a medián és a számtani közép is más-más eredményt adott. A különböző típusú átlagok előnye, hogy különböző típusú adatokhoz és különböző célokra használhatjuk őket. Minden statisztikai mutatónak megvannak a maga előnyei és hátrányai is, amelyekkel tisztában kell lenned, mert ezek alapján tudod eldönteni, hogy melyiket használd az adott helyzet és adathalmaz esetében.
A mediánnak számos előnye van, többek között az, hogy ellenáll a kiugró értékeknek. Képzeljük el, hogy a hőmérő az egyik napon hibásan működött, és egy napot 50 fokosnak jelentettek azon a héten. Az értékeink így 29, 26, 30, 50, 29, 27 és 28. A számtani közép 31,29 lenne, de a medián továbbra is 29 maradna. A medián használatával a kiugró vagy szokatlan, szélsőséges értékek hatása némileg enyhül, és kevésbé befolyásolják az eredményt.
A medián a sporteredmények elemzésében is segíthet a tipikus teljesítmény meghatározásával anélkül, hogy a legjobb vagy legrosszabb eredmények túlságosan befolyásolnák a meglátásokat.
Ebből kifolyólag gyakran találkozhatunk a mediánnal olyan pénzügyi adatokra vonatkozó átlagok esetében, mint például a már említett fizetések vagy az ingatlanárak, mert a nagyon gazdagok nem húzzák el felfelé az értéket, ami erősen torzítaná a valóságot. Míg a legtöbb ausztrál évi több tízezer dolláros fizetéssel rendelkezik, addig egyetlen milliomos vagy milliárdos fizetése nagyságrendekkel nagyobb, mint a legtöbb emberé.
A számtani közép sokkal magasabb átlagot mutatna. Ugyanez igaz az ingatlanárakra is, ezért az átlagbérekről, ingatlanárakról vagy más pénzügyi adatokról szóló legtöbb információ inkább a mediánt használja.
Ha többet szeretnél megtudni a mediánról vagy bármilyen más statisztikai mutatóról, illetve középiskolai matek korrepetálás segítségével szeretnéd elmélyíteni tudásodat, ne felejtsd el, hogy a Superprof weboldalán rengeteg képzett és tapasztalt matematika- és statisztikaoktató áll rendelkezésedre, akik közül sokan ingyenes első órát kínálnak fel, hogy meghatározhassátok a céljaid, időbeosztásod és a jelenlegi tudásod!
Továbbá a medián az átlaggal szemben kevésbé pontos lehet széles tartományú adathalmazokban, mert csak a középső értéket veszi figyelembe, nem pedig az adatpontok közötti lehetséges értékeket
Mikor jobb a mediánt választani a számtani közép helyett?
Módusz, medián vagy számtani közép, a statisztikai mutatók előnyeinek és hátrányainak ismerete elengedhetetlen ahhoz, hogy tudd, mikor érdemes az egyiket vagy a másikat használni:
- Ha az adathalmazban nincsenek szélsőséges értékek, akkor bátran használhatod a számtani középet (átlagot), mert tudod, hogy nem lesz olyan érték, ami jelentősen befolyásolja azt. A szélsőséges értékek jelenléte esetén azonban a mediánnal csökkentheted azok esetleges torzító hatását.
- A medián csak a középső (kettő) értéket veszi figyelembe, és nem használja fel az összes adatot, így ha olyan átlagot szeretnél, amely minden értéket tükröz, függetlenül attól, hogy az mennyire szélsőséges, akkor nem a medián lesz a legalkalmasabb.
Tökéletesítsd a matektudásod a Superprof online matematika lehetőségeivel!
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...