Az adatok elemzésére különböző statisztikai mutatókat használhatunk attól függően, hogy milyen adatokkal és milyen célból dolgozunk velük, hogy jobban megérthessük az adott adathalmaz egészét. A leggyakoribb ilyen mutatók a számtani közép (átlag), a medián és a módusz.
Mindegyiknek megvan a maga szerepe attól függően, hogy milyen típusú adatot vizsgálunk. Míg az átlag és a medián egy középértékre fókuszál, a módusszal könnyedén meghatározhatod a leggyakrabban előforduló értéket. A kérdés az, hogy mégis hogyan juthatsz el az eredményig, és hogy pontosan mikor is éri meg a móduszt alkalmazni. Tarts velünk, és ismerd meg cikkünkből a módusz kiszámítását, valamint az előnyeit és hátrányait!
Melyek a különböző átlagértékek?
A különböző átlagértékeket eredményező statisztika mutatókat a matematikában az adathalmazok általánosítására használják azáltal, hogy az adathalmazban szereplő értékeket egy értékben összegzik. Alapvetően az átlagértéknek reprezentatívnak kell lennie az adathalmazon belüli összes értékre nézve.
A mindennapi életünkben jól ismerjük ezeket az átlagértékeket, hiszen az egyetemi oktatástól kezdve (osztályzatok és pontszámok) a sportteljesítményen, fogadásokon, költségvetési szokásokon, demográfiai adatokon, valamint a hőmérsékleten és egyéb időjárási viszonyokon át egészen az utazási időkig minden területen használjuk őket. Akár azt is meg merjük kockáztatni, hogy ma is láttál már legalább egy olyan értéket, amely valójában egy átlagérték volt! Emellett a középiskolai matek korrepetálás is segíti az alapfogalmak gyakorlását.
A leíró statisztikai mutatók a közép- vagy átlagértékek (medián, módusz, átlag), a szóródási mutatók és az eloszlásuk szerint csoportosíthatók. A terjedelem egy szóródási mutató, amely megmutatja az adathalmaz legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbséget. Ez azért hasznos, mert nagy terjedelem esetén az adatok között is nagy különbségek vannak, míg ellenkező esetben az adatok szorosabban helyezkednek el egymáshoz képest. Előnye, hogy gyorsan meghatározhatók vele a szélsőséges értékek.
A különféle átlagértékeket különféle statisztikai mutatók eredményezik. Ezek közül a legelterjedtebbek a számtani közép, medián és a cikkünkben részletesebben is vizsgált módusz. Bár eltérő módon, mindegyikük egy adathalmaz legjellemzőbb értékét igyekszik reprezentálni.
Számtani közép
Amikor valaki azt mondja, hogy átlag, legtöbbször a számtani középre gondol. Az átlagszámítás képlete nagyon egyszerű. Mindössze annyit kell tenned, hogy az adathalmazod értékeinek összegét elosztod az értékek számával. Az így kapott eredmény egy olyan átlagérték, amely minden értéket figyelembe véve segít egy olyan reprezentatív középérték meghatározásában, amely jól tükrözi az adathalmaz egészének jellemzőit. Egyszerűsége és gyors kiszámíthatósága révén az átlag az egyik leggyakrabban alkalmazott statisztikai mutató.
A számtani közép akkor a leghasznosabb, ha az adatok szimmetrikusan oszlanak el, és a szélsőséges értékek nem torzítják az eredményt. Ilyenkor jól alkalmazható például a tanulmányi eredmények, időjárási viszonyok és gazdasági mutatók elemzésében. Amire ügyelned kell, az az, hogy átlagszámításkor a szélsőséges értékek jelentősen torzíthatják a valóságot. Ez az jelenti, hogy az adathalmazok nagyon magas vagy nagyon alacsony értékei következtében az átlag nem igazán reprezentálja az értékek többségét. Ilyenkor érdemes lehet más statisztikai mutatókkal próbálkoznod, például a mediánnal.
Medián
A mediánt gyakran tekintik a számtani közép alternatívájának, különösen az olyan esetekben, amikor a kiugró vagy szélsőséges értékek torzíthatják az átlagot. A medián tulajdonképpen egy középérték, amely az eredmény megtalálásához nagyság szerinti sorrendbe helyezi az értékeket, és kiválasztja a lista közepén lévő értéket.
Páratlan számú értékkel rendelkező adatkészletek esetén csak egy érték van középen. Páros számú értékkel rendelkező adatkészletek esetében azonban a két középső értéket kell venni, amelyekből átlagot kell vonni. Ez lényegében a két érték közötti félút. A legjobb a mediánt használni, ha olyan adathalmazokkal dolgozol, ahol a szélsőségek komolyan megváltoztathatják a valóságot. Ilyenek lehetnek a különféle gazdasági és társadalmi tényezők, például az ingatlanárak, bérek vagy teljesítménymérés.
Módusz kiszámítása
A módusz (Mo) alatt az adathalmazban leggyakrabban előforduló értéket értjük. Megtalálásához csak meg kell számolni, hogy melyik érték hányszor fordul elő az adott adathalmazban. Bár ez a nagyobb adathalmazok esetében időigényes lehet, nem kell bonyolult számításokat végrehajtanod, csak meg kell számolnod, hogy melyik értékből mennyi van. A numerikus adatok mellett különféle kategóriák (pl. vásárlói preferenciák, munkavállalói statisztikák, színek, márkák, szórakoztatóipar stb.) esetén is jól alkalmazható.
Vegyük példának Brisbane e heti (e cikk írásakor érvényes) időjárását.
- A legmagasabb értékek a hét napján: 27, 26, 28, 31, 29, 32 és 31.
- Könnyítsük meg a dolgunk azzal, hogy sorrendbe állítjuk az értékeket: 26, 27, 28, 29, 31, 31, 32.
- Minden érték csak egyszer fordul elő, kivéve a 31-et, ami kétszer, tehát Mo = 31.
Ha azonban egy plusz napot is felveszünk, amikor a legmagasabb hőmérséklet 28 fok volt, akkor az adatsorunk 27, 26, 28, 31, 29, 32, 31 és 28 lesz.
- Helyezzük őket sorrendbe: 26, 27, 28, 28, 29, 31, 31 és 32.
- Ebben a példában minden érték egyszer fordul elő, kivéve a 28-at és a 31-et. A mediánnal ellentétben nem ennek a két értéknek az átlagát vesszük. Ehelyett ez az adathalmaz két módusszal rendelkezik, amit bimodálisnak nevezünk.
Ha minden érték csak egyszer fordul elő, akkor az adathalmaznak nincs módusza. Egy módusz esetén az adathalmaz unimodális, több módusz esetén pedig multimodális (bimodális, trimodális stb.).
További segítségért keresd fel a Superprof weboldalát, ahol mindössze néhány kattintással hozzáférhetsz a helyi és online matematikatanárok széles hálózatához! Akár Budapesten, akár Debrecenben vagy Pakson keresel matekórát, a keresési eredményeket az igényeid szerint szűrheted!
Mik a módusz előnyei?
A számtani középhez és mediánhoz hasonlóan a módusz is rendelkezik előnyökkel és korlátokkal egyaránt. Ami mindenképp a módusz mellett szól, az az, hogy a statisztikai mutatók közül ez feltehetőleg a legegyszerűbb és leggyorsabban meghatározható. A nem számszerű adatok esetében is különösen jól alkalmazható, és a szélsőséges értékek sem gyakorolnak rá túl nagy hatást.
A multimodális adathalmazokban megnézheted, hogy vannak-e bizonyos minták vagy jelenségek, amelyek ismétlődnek az adatokban. Az effajta ismétlődő adatokat sem a medián, sem a számtani átlag nem ismeri fel.
Milyen hátrányai vannak a módusznak?
Mivel mindegyik statisztikai mutató más-más helyzetben minősül ideálisnak, a módusz sem a legjobb választás minden esetben. Már magában a tény, hogy az adatkészletek nulla, egy vagy több módusszal is rendelkezhetnek, azt jelenti, hogy nem olyan pontos, mint az átlag vagy a medián. Ráadásul ha nincs módusz, az azt jelzi, hogy bizonyos adathalmazokra egyáltalán nem alkalmazható.
Továbbá az adathalmaz enyhe változásai nem feltétlenül eredményezik a módusz változását. Mivel a módusz csak azt az értéket veszi figyelembe, ami a legtöbbször fordul elő, sok, egymáshoz nagyon közeli érték nem jelenik meg benne, ha nem pontosan ugyanazok. Bár a módusz informatív lehet, nem tükrözi teljes egészében az adathalmazt. A számtani közép ezzel szemben minden értéket figyelembe vesz, és bármilyen új adat hatással van rá (kivéve, ha pont az átlaggal egyezik).
Mikor érdemes használni a móduszt?
Most, hogy tisztában van a módusz használatának előnyeivel és hátrányaival, könnyen képes leszel felmérni, hogy mikor érdemes használnod és mikor nem. A módusz különösen jó a kategóriák és a nem számszerű adatok esetében.
Egy egyszerű példa erre az emberek kedvenc színeit tartalmazó adathalmaz. Képzeld el, hogy megkérdezed az osztálytársaid vagy kollégáid, hogy mi a kedvenc színük, és a következő eredményt kapod: piros, kék, zöld, kék, sárga, kék, piros, zöld, zöld. Mint mindig, most is hasznos az adatokat rendszerezni. A színeket számszerűen nem tudjuk rendezni, de ábécé szerint igen: kék, kék, kék, piros, piros, sárga, zöld, zöld, zöld.
Az egyes válaszok gyakoriságát megszámolva láthatjuk, hogy a móduszunk a kék és a zöld, vagyis egy bimodális adathalmazunk van. Most már tudod, hogy a megkérdezettek körében a legnépszerűbb színek a kék és a zöld. Ennek ismeretében gondoskodhatsz arról, hogy a következő rendezvényed dekorációi tükrözzék ezt. A móduszt a szélsőséges értékek sem befolyásolják, így még ha valaki nem is veszi komolyan a felmérést, és a unikornislilát jelölte meg kedvenc színének, akkor is tudni fogod, hogy a kék vagy a zöld lenne a megfelelő szín.
Kérj segítséget egy képzett matektanártól!
Láthattad, hogy a különböző statisztikai mutatók igen széles körű felhasználási területtel rendelkeznek attól függően, hogy milyen értékeket tartalmaz az adott adathalmaz, valamint hogy pontosan milyen céllal is végzed az adatok elemzését.
Most már ismered a módusz, medián és számtani közép alapvető alkalmazását, valamint az előnyeiket és a hátrányaikat is. Ha viszont még mindig bizonytalan vagy abban, hogy mikor melyik adja a legjobb információt, rengeteg segítség áll rendelkezésedre az ismereteid csiszolásához! Akár az átlagok megértéséről, akár a matematikában való mélyebb elmerülésről vagy a statisztikavizsga letételéről van szó, egy magán matektanár személyre szabott foglalkozásokkal minden idejét és figyelmét a te igényeidnek szenteli! Emellett az online matematika oktatás is rugalmas tanulási lehetőséget kínál.
A Superprof oldalán országszerte rengeteg matekoktató vár, így biztosan akad számodra is egy matektanár, akivel gyorsan megtaláljátok a közös hangot, legyen szó online vagy személyes órákról, óradíjról vagy a tanítási módszerről. Ha könnyebben megy a tanulás az osztálytársaiddal és barátaiddal, vagy pénztárcabarát megoldást keresel, akár csoportos matekórákat is vehetsz. A Superprof tanárainak többsége ingyenes első órát kínál a megismerkedéshez, a célok meghatározásához és az időbeosztásotok megbeszéléséhez. Ne habozz hát megismerkedni több tanárunkkal is, hogy eldöntsd, melyikük a megfelelő számodra!
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...