Átlagfizetések, átlagteljesítmény, átlagfogyasztás, átlagpontszám: amikor statisztikai vagy matematikai szempontból mondjuk valamire, hogy átlag, gyakorlatilag a számtani vagy aritmetikai középre, avagy átlagra gondolunk. Az átlaggal egy adathalmazt egyetlen értékbe összefoglalva gyorsan és egyszerűen kaphatunk egy tisztább képet egy egészről, ami segít az összehasonlításban és a döntéshozásban. A számtani közép tehát rendkívül fontos a matematikában és a hétköznapi életünkben is.
A számtani közép mellett az olyan statisztikai mutatók is hasznodra válhatnak, mint a módusz és a medián. Mindhárom mutató egy átlagértéket mutat, viszont mindegyik más célból és helyzetben lehet hasznos. Ebben a cikkben a talán legtöbbet használt számtani középpel ismerkedhetsz meg. Tudd meg, mi is az a számtani közép, hogyan számíthatod ki, és milyen előnyökkel és hátrányokkal rendelkezik!
A különböző átlagértékek
Ahogy már a bevezetőben is utaltunk rá, a statisztikai mutatókkal – így az átlaggal is – összefoglaló adatokat kaphatsz egy vagy több adathalmazról, vagyis egy több értékből álló halmazból a legjellemzőbb értéket ábrázolják. Néha hasznosabb lehet egy-egy adatkészletből a nagyobb képet megnézni, mintha minden értéket egymástól függetlenül próbálnánk megvizsgálni. Ez segít jobban elemezni és megérteni, hogy mit jelent az adott adatsor, számsor.
Ha például azt szeretnéd megvizsgálni, hogy Ausztráliában vagy Új-Zélandon van melegebb, könnyedén választ kaphatsz a kérdésedre a két ország különböző hónapjainak vagy évszakainak átlaghőmérsékletét összehasonlítva. Ez segíthet abban például, hogy eldöntsd, melyik az év legjobb időszaka Új-Zéland meglátogatására. Ha nem is pontosan előrejósolható, hogy melyik nap milyen idő lesz – különösen ha még hónapok választanak el az utazástól –, megnézheted az átlaghőmérsékleteket, a jellemző csapadékmennyiséget és más átlagokat, amellyel jobban felkészülhetsz a kalandra!
A különböző átlagértékek a trendek kiszámításában is jelentős szerepet vállalnak. Az időjárásnál maradva gyors áttekintést nyújtanak arról, hogy hogyan változnak az időjárási trendek, például egyre melegebb van-e. Hogy éppen a mediánra, számtani középre vagy móduszra lesz szükséged, az attól függ, hogy milyen szempontból szeretnéd megkapni az adott halmaz értékét, és hogy milyen számokkal dolgozol:
Számtani közép: az egyik legtöbbet használt módszer az időjárásban (napi, havi, éves átlaghőmérséklet, átlagos csapadékmennyiség stb.), mert jól tükrözi az általános trendeket, amennyiben az értékek nem szélsőségesek.
Medián: középérték. A tipikus, jellemző értékeket mutatja, amelyeket kevésbé torzítják a szélsőségek.
Módusz: a leggyakrabban előforduló érték meghatározásához hasznos, így csak valóban gyakran ismétlődő értékek esetében érdemes ehhez a módszerhez nyúlni.
A továbbiakban közelebbről is megismerkedhetsz a számtani közép kiszámításának lépéseivel, és hogy mikor érdemes használni!
Átlagszámítás, avagy a számtani közép meghatározása
Az átlag kiszámításához csak annyit kell tenned, hogy összeadod az adathalmazban szereplő összes értéket, majd az eredményt elosztod annyival, ahány értéket összeadtál. Ezek alapján az átlagszámítás képlete így nézne ki: átlag = adatok összege ÷ adatok száma.
Például, ha a Sydneyben ezen a héten (a cikk írásakor) mért legmagasabb hőmérsékleteket vesszük, kiszámíthatjuk a hét legmagasabb átlaghőmérsékletét: 28, 24, 21, 26, 21, 21 és 22:
- Először is meg kell találnunk ezeknek a számoknak az összegét, ami 163.
- A hét minden egyes napjára vettünk egy értéket, így tudjuk, hogy 7 értékünk van.
- 163 ÷ 7 = 23,29
Attól függően, hogy milyen precíz adatokra van szükséged, így hagyhatod az eredményt, de ha azt nézzük, hogy az eredeti adatok egész számokban voltak megadva, az eredményt lekerekítheted 23-ra.
Milyen előnyei vannak az átlag használatának?
Az átlagot több szempontból is érdemes használni. Kiszámítása egyszerű, és még ha nagy adathalmazokról is van szó, amelyeket fejben nehezebb kiszámolni, a képlete akkor is rendkívül könnyen alkalmazható.
A módusszal és a mediánnal szemben az átlag az adathalmaz minden értékét figyelembe veszi, vagyis az adathalmaz minden értékének a jellemzőjét figyelembe veszi, így részletesebben reprezentálja azt. Ha bármelyik érték megváltozna, a teljes átlag is megváltozik – ez talán nem tükröződik teljes mértékben, ha kerekítjük az átlagot.
Azzal, hogy az átlag minden értéket figyelembe vesz, a kiugró értékek jelentősen befolyásolják – ahogy majd az alábbiakban közelebbről is láthatod –, de az egyes kiugró értékek hatása csökken az értékek számának növelésével. Előző példánkban a legalacsonyabb értékek csak néhány fokkal voltak alacsonyabbak az átlagnál, de a legmagasabb érték 5 fokkal magasabb volt. Ha még több napot vennénk figyelembe, a kiugró értékek hatása nagymértékben csökkenne.
Összességében az átlag jól alkalmazható más elemzésekkel, és segít a különféle kategóriák és időszakok összehasonlításában.
Milyen hátrányai vannak az átlag használatának?
Bár a számtani közép a leggyakrabban használt átlagérték, ez nem jelenti azt, hogy hibátlan lenne. Ahogy már utaltunk rá, a tény, hogy az átlag az adathalmaz minden értékét figyelembe veszi, azt jelenti, hogy a szélsőséges értékek jelentősen torzíthatják a valóságot. Ha például az ausztrálok – vagy bármely más ország – átlagbérét vennénk, a milliomosok és milliárdosok nagyságrendekkel nagyobb bére felfelé húzná az átlagot, és valószínűleg nem reprezentálná valósan az átlagos ausztrálok fizetését.
Hasonló lenne az időjárási példánkban is: ha csak az egyik nap 40 fok lett volna, az átlag jelentősen változna, és nem különösebben tükrözné a hét során tapasztalt hőmérsékleteket. Ilyen esetekben más átlagokra van szükség.
Mi a helyzet a többi átlaggal?
Mivel mindenféle átlagnak megvannak az előnyei és hátrányai, bizonyos körülmények között jobb lehet az átlagtól eltérő statisztikai mutatókat használni. Megismételnénk, hogy az, hogy pontosan melyikre is van szükséged, az az adatoktól és attól függ, hogy milyen információt szeretnél megtudni az említett adatokból.
Amikor a számtani közép nem a legideálisabb választás, gyakran a mediánt használják helyette. A mediánt úgy számítjuk ki, hogy az összes értéket nagyság szerinti sorrendbe állítjuk, majd kiválasztjuk a középső értéket. Korábbi példánkban, Sydney legmagasabb hőmérsékletére vonatkozóan a medián 22. Ez azért van így, mert az értékeket sorrendbe állítva a következőt kaptuk: 21, 21, 21, 22, 24, 26, 28.
Mivel 7 érték van, a 4. érték a középső, balról és jobbról is 3-3 értékkel. Páros számú értékkel rendelkező adathalmazok esetén meg kell találni a két középső értéket, majd azokból átlagot kell vonni. Itt a mediánunk csak 1 fokkal hidegebb, mint az átlag, amit a legmelegebb nap valamelyest felfelé ferdített.
A korábban említett ausztrál fizetések példájában is potenciálisan jobb választás lett volna a medián. A mediánt gyakran használják pénzügyi adatokkal kapcsolatos példák esetében, amelyek gyakran tartalmaznak szélsőséges értékeket, például az ingatlanárak és bérek esetében, de ettől sokkal szélesebb körben, például a teljesítmény (pl. sport, iskolai), életkoradatok és más gazdasági-társadalmi esetekben is használják, ahol az adatokat szélsőséges értékek torzíthatják.
Ha bármikor segítségre van szükséged ezeknek a fogalmaknak a megértésében, a Superprof matektanárai online matematika és személyes órákkal támogatnak az előrehaladásban!
Átlag vagy medián: mikor melyiket érdemes használni?
Az átlagot akkor kell használni, ha az adatok eloszlása szimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy az értékek többsége egy középső érték felé esik, és nem tartalmaznak nagy számban nagyon alacsony vagy nagyon magas – vagyis szélsőséges – értékeket. Röviden ha az adatok egyenletesen oszlanak el a középérték körül, akkor az átlag jól tükrözi az egész adathalmaz jellemzőjét.
Ahogy már láthattuk, a pénzügyi adatok elemzésekor gyakoriak a nagyon magas vagy nagyon alacsony értékek, amelyek eltorzítanák az átlagot, ezért az átlag helyett ilyenkor a medián ajánlott. Az átlag előnye viszont a mediánnal szemben, hogy mivel minden adatot felhasznál, finomabb képet adhat az adathalmaz egészéről azáltal, hogy az átlag két meglévő érték közé is eshet, és nem csak olyan szám lehet, ami konkrétan szerepel az adathalmazban.
A mediánt gyakran használják alternatívaként az átlag hátrányainak ellensúlyozására. Ha például az adatok eloszlása ferde, sok szélsőséges értékkel, a medián különösen hasznos, mivel lényegében figyelmen kívül hagyja a legmagasabb és legalacsonyabb értékeket, és csak az adathalmaz közepére összpontosít. A medián tehát kevésbé érzékeny a kiugró értékekre, így ha úgy gondolod, hogy az adatkészletekben vannak olyan értékek, amelyek eltorzítják az átlagot, akkor választhatod a mediánt.
Melyik a pontosabb?
Sem az átlagra, sem a mediánra nem mondhatjuk, hogy az egyik pontosabb lenne, mint a másik, mivel ez teljesen a rendelkezésedre álló adatoktól és attól függ, hogy milyen információt próbálsz belőlük kinyerni. Minden átlagérték esetében fontos, hogy tudd, mikor melyik a legjobb! Nincs tehát abszolút legpontosabb statisztikai mutató:
A számtani közép a kiugró adatok nélküli, szimmetrikus számsorok esetében.
A medián a tipikus érték keresésekor, különösen ha sok a szélsőséges adat, ami torzítaná a valóságot.
A módusz a leggyakrabban előforduló értékek keresésekor.
Most már te is megbizonyosodhattál róla, hogy az iskolában tanult matematikai fogalmak közt sokat bizony a személyes és szakmai életünkben is nap mint nap használunk! Ha szeretnél többet megtudni a matematikáról és az átlagokról, ne felejtsd el, hogy rengeteg képzett és tapasztalt matematikaoktató, illetve középiskolai matek korrepetálás vár a Superprof oldalán!
Tetszett ez a cikk? Értékeld!
Loading...